Расчет балки на растяжение

Расчёт металлической балки онлайн (калькулятор).

1. Сбор нагрузок

Перед началом расчета стальной балки необходимо собрать нагрузку, действующая на металлическую балку. В зависимости от продолжительности действия нагрузки разделяют на постоянные и временные.

К постоянным нагрузкам относятся:

собственный вес металлической балки;
собственный вес перекрытия и т.д.;

К временным нагрузкам относятся:

длительная нагрузка (полезная нагрузка, принимается в зависимости от назначения здания);
кратковременная нагрузка (снеговая нагрузка, принимается в зависимости от географического расположения здания);
особая нагрузка (сейсмическая, взрывная и т.д. В рамках данного калькулятора не учитывается);

Нагрузки на балку разделяют на два типа: расчетные и нормативные. Расчетные нагрузки применяются для расчета балки на прочность и устойчивость (1 предельное состояние). Нормативные нагрузки устанавливаются нормами и применяется для расчета балки на прогиб (2 предельное состояние). Расчетные нагрузки определяют умножением нормативной нагрузки на коэффициент нагрузки по надежности. В рамках данного калькулятора расчетная нагрузка применяется при определении прогиба балки в запас.

Общий расчет металлоконструкций можно почитать нашем сайте.

Нагрузки можно собрать на нашем сайте.

После того как собрали поверхностную нагрузку на перекрытие, измеряемой в кг/м2, необходимо посчитать сколько из этой поверхностной нагрузки на себя берет балка. Для этого надо поверхностную нагрузку умножить на шаг балок(так называемая грузовая полоса).

Например: Мы посчитали, что суммарная нагрузка получилась Qповерхн.= 500кг/м2, а шаг балок 2,5м. Тогда распределенная нагрузка на металлическую балку будет: Qраспр.= 500кг/м2 * 2,5м = 1250кг/м. Эта нагрузка вносится в калькулятор

2. Построение эпюр

Далее производится построение эпюры моментов, поперечной силы. Эпюра зависит от схемы нагружения балки, вида опирания балки. Строится эпюра по правилам строительной механики. Для наиболее частоиспользуемых схем нагружения и опирания существуют готовые таблицы с выведенными формулами эпюр и прогибов.

3. Расчет по прочности и прогибу

После построения эпюр производится расчет по прочности (1 предельное состояние) и прогибу (2 предельное состояние). Для того, чтобы подобрать балку по прочности, необходимо найти требуемый момент инерции Wтр и из таблицы сортамента выбрать подходящий металлопрофиль. Вертикальный предельный прогиб fult принимается по таблице 19 из СНиП 2.01.07-85* (Нагрузки и воздействия). Пункт2.а в зависимости от пролета. Например предельный прогиб fult=L/200 при пролете L=6м. означает, что калькулятор подберет сечение прокатного профиля (двутавра, швеллера или двух швеллеров в коробку), предельный прогиб которого не будет превышать fult=6м/200=0,03м=30мм. Для подбора металлопрофиля по прогибу находят требуемый момент инерции Iтр, который получен из формулы нахождения предельного прогиба. И также из таблицы сортамента подбирают подходящий металлопрофиль.

4. Подбор металлической балки из таблицы сортамента

Из двух результатов подбора (1 и 2 предельное состояние) выбирается металлопрофиль с большим номером сечения.

3d-konstruktiv.com

Расчет балки. Примеры

Расчет балки различается в зависимости от того, является она статически определимой, либо статически неопределимой. На сайте производится расчет любых балок, но подробное решение расписывается только для статически определимых балок, не имеющих промежуточных шарниров.

Сервис позволяет определить реакции опор, построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов (эпюры Q и M). Кроме этого, производится подбор сечений - двутавр, прямоугольник, круг, квадрат, труба. Причем, для всех типов сечений строятся эпюры нормальных и касательных напряжений. По уравнениям метода начальных параметров вычисляются прогибы и углы поворота. Записываются и сами уравнения метода начальных параметров по участкам.

Посмотреть пример »

Для консольной балки можно построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов, производится подбор сечений - двутавр, прямоугольник, круг, квадрат, труба, строятся эпюры нормальных и касательных напряжений, вычисляются прогибы и углы поворота.

Посмотреть пример »

Расчет статически неопределимой балки показывает результаты - (эпюры Q и M). Естественно, по этим эпюрам можно легко найти реакции опор. Подробный ход расчета записывается как для статически определимой балки, что не совсем корректно, но, имея результаты, Вы легко можете проверить все промежуточные итоги своего расчета.

Посмотреть пример »

Расчет балки с промежуточными шарнирами Вы должны производить, скорее всего, методом построения поэтажной схемы. Сервис, опять же, дает только конечный результат, но его наличие, естественно, очень упрощает проверку промежуточных этапов решения заданий.

Посмотреть пример »

sopromat.xyz

Расчёт балок на прочность при изгибе

Задача 1

В некотором сечении балки прямоугольного сечения 20×30см М=28 кНм, Q=19 кН.

Требуется:

а) определить нормальное и касательное напряжения в заданной точке К, отстоящей от нейтральной оси на расстоянии 11 см,

б) проверить прочность деревянной балки, если [σ]=10 МПа, [τ]=3 МПа.

Решение

а) Для определения σ(К), τ(К) и maxσ,maxτ потребуется знать величины осевого момента инерции всего сечения IН.О., осевого момента сопротивления WН.О., статического момента отсечённой части и статического момента половины сечения Smax:

Тогда:

б) Проверка прочности:

— по условию прочности нормальных напряжений:

— по условию прочности касательных напряжений:

Задача 2

В некотором сечении балки М=10кНм, Q=40кН. Поперечное сечение – треугольное. Найти нормальное и касательное напряжения в точке, отстоящей от нейтральной оси на расстоянии 15 см.

где

Тогда

где:

Тогда

Задача 3

Подобрать сечение деревянной балки в двух вариантах: круглое и прямоугольное (при h/b=2), если [σ]=10 МПа, [τ]=3 МПа, и сравнить их по расходу материала.

Задаёмся направлениями опорных реакций А и В и составляем уравнения статики:

(1) ∑М(В) = F·8 – М – А·6 + (q·6)·3 =0,

откуда

(2) ∑М(А) = F·2 – М + В·6 — (q·6)·3 =0,

откуда

Iучасток

∑М(С) = М(z1) +F·z1=0,

ММ(z1) = -F·z1= — 30 ·z1 —

– уравнение прямой.

При z1 = 0: М = 0,

z1 = 2: М =- 60 кНм.

∑у= — F — Q(z1) = 0,

Q(z1) = — F = -30 кН – постоянная функция.

II участок

откуда

— уравнение параболы.

При z2=0: М = 0,

z2=3м: М = 30 · 3 – 5 · 32 = 90 — 45 = 45кНм,

z2=6м: М = 30 · 6 – 5 · 62 = 180 — 180 = 0.

∑у= Q(z2) — q·z2 + B= 0,

Q(z2) = q·z2 — B= 10·z2 – 30 – уравнение прямой,

при z2 = 0: Q = -30,

z2 = 6м: Q = 10·6 – 30 = 30.

Определение аналитического максимума изгибающего момента второго участка:

из условиянаходим :

И тогда

Заметим, что скачок в эп.М расположен там, где приложен сосредоточенный момент М = 60кНм и равен этому моменту, а скачок в эп.Q – под сосредоточенной силой А = 60 кН.

Подбор сечения балок производится из условия прочности по нормальным напряжениям, куда следует подставлять наибольший по абсолютной величине изгибающий момент из эпюры М.

В данном случае максимальный момент по модулю М = 60кНм

откуда: :

а) сечение круглой формы d=?

б) сечение прямоугольной формы при h/b = 2:

тогда

Размеры сечения, определенные из условия прочности по нормальным напряжениям, должны удовлетворять также условию прочности по касательным напряжениям:

Для простых форм сечений известны компактные выражения наибольшего касательного напряжения:

— для круглого сечения

— для прямоугольного сечения

Воспользуемся этими формулами. Тогда

— для балки круглого сечения при :

— для балки прямоугольного сечения

Чтобы выяснить, какое сечение требует меньшего расхода материала, достаточно сравнить величины площадей поперечных сечений:

Апрямоугольного = 865,3см2 < Акруглого = 1218,6см2, следовательно, балка прямоугольного сечения в этом смысле выгоднее, чем круглого.

Задача 4

Подобрать двутавровое сечение стальной балки, если [σ]=160МПа, [τ]=80МПа.

Задаёмся направлениями опорных реакций А и В и составляем два уравнения статики для их определения:

(1) ∑М(А) = – М1– F ·2 — (q·8)·4 + М2 + В·6 =0,

откуда

(2) ∑М(В) = – М1– А · 6 + F · 4 + (q·8)·2 + М2 =0,

откуда

Проверка:

∑у = А – F – q · 8 + В = 104 – 80 – 20 · 8 +136 = 240 – 240 ≡ 0.

∑М(С) = М(z1) - М1=0,

М(z1) = М1= 40 кНм – постоянная функция.

∑у= — Q(z1) = 0,

Q(z1) = 0.

II участок

— парабола.

Приz2=0: М = 40 кНм,

z2=1м: М = 40 + 104 – 10=134кНм,

z2=2м: М = 40+ 104 · 2 – 10 · 22 = 208 кНм.

∑у=А — q·z2 — Q(z2) = 0,

Q(z2) =А— q·z2 = 104 – 20·z2 – уравнение прямой,

при z2 = 0: Q = 104кН,

z2 = 6м: Q = 104 – 40 = 64кН.

III участок

— парабола.

Приz3=0: М = 24+40=-16 кНм,

z3=2м: М = 24 + 136·2 — 10 (2+2)2 = 24 + 272 – 160 = 136кНм,

z3=4м: М = 24 + 136·4 – 10 (2+4)2 = 24 + 544 – 360 = 208 кНм.

∑у=В — q(2+z3 ) + Q(z3) = 0,

Q(z3) =- В + q(2+z3 ) = -136 + 20 (2+z3 ) – уравнение прямой,

при z3 = 0: Q = -136 + 40 = — 94кН,

z3 = 4м: Q = — 136 + 20 (2+4) = — 136 + 120 = — 16кН.

IV участок

- парабола.

z4=0: М = 0кНм,

z4=1м: М = – 10кНм,

z4=2м: М = — 40кНм.

∑у=- q·z4 + Q(z4) = 0,

Q(z4) =q·z4 = 20·z4 – уравнение прямой.

Приz4 = 0: Q = 0,

z4 = 2м: Q = 40кН.

Проверяем скачки в эпюрах:

а) В эпюре М скачок на правой опоре величиной 24кНм (от 16 до 40) равен сосредоточенному моменту М2=24, приложенному в этом месте.

б) В эпюре Q три скачка:

первый из них на левой опоре соответствует сосредоточенной реакции А=104кН,

второй – под силой F=80кН и равен ей (64+16=80кН),

третий – на правой опоре и соответствует правой опорной реакции 136кН (94+40=136 кН)

Наконец, проектируем двутавровое сечение.

Подбор его размеров производится из условия прочности по нормальным напряжениям :

В сортаменте двутавровых профилей профиля с точно таким моментом сопротивления Wх нет. Есть № 40а с Wх=1190 см3 и № 45а с Wх=1430 см3

Попробуем меньший из них. Если принять двутавр № 40а, у которого Wх=1190 см3 , то наибольшее напряжение в опасном сечении будет:

и перенапряжение составитчто превышает рекомендуемую величину отклонения, равную 5%.

Поэтому приходится принимать ближайший больший размер двутавра, а именно №45а, у которого Wх=1430 см3. В этом случае балка будет работать с недонапряжением:

что меньше [σ]=160МПа на

Итак, принимается двутавр №45а, у которого: Wх=1430 см3, Iх=32240см4, Iх: Sх=38,6см, d=11,5мм.

Далее необходима проверка прочности по касательным напряжениям с помощью условия прочности :

Это условие прочности выполняется, даже с избыточным запасом.

Задача 5

Подобрать сечение балки, рассмотрев шесть вариантов форм и три вида материалов (древесина, чугун, сталь).

Решение

1.Определение опорных реакций

∑М(А) = F · 2 + М1 - М2— q·6·7 + В · 8 =0,∑М(В) = F · 10 + М1— М2 – А · 8 + q·6·1 =0,Проверка:

∑у = – 20 – 40 ·6 +50+210 = — 260 + 260 ≡ 0.

2.Построение эпюр изгибающих моментов и поперечных сил.

I участок

∑М(С) = М(z1) + F·z1=0,

М(z1) = - F·z1= -20·z1.

При z1=0: М = 0,

z1=2м: М = – 40кНм,

∑у= - F— Q(z1) = 0,

Q(z1) = — 20кН.

II участок

z2=0: М = — 20 – 40 = -60 кНм,

z2=4м: М = 200 — 20 – 120 = 200 — 140 = 60кНм.

∑у=- F + А — Q(z2) = 0,

Q =- F + А= -20+50=30кН.

III участок

- парабола.

Приz3=0: М = — 20·4= — 80 кНм,

z3=2м: М = 210·2 — 20·(2+2)2 = 420 – 320 = 100кНм,

z3=4м: М = 210·4 – 20 · (2+4)2 = 840 – 720 = 120кНм.

∑у= Q(z3) + В — q·(2+z3) = 0,

Q(z3) = — В + q·(2+z3) = — 210 + 40·(2+z3) – уравнение прямой.

Приz3 = 0: Q = -130кН,

z3 = 4м: Q = 30кН.

Q(z0) = — 210 + 40·(2+z0) = 0,

— 210 + 80 + 40·z0 = 0,

40·z0 = 130,

z0 =3,25м,

IV участок

парабола.

Приz4=0: М = 0 кНм,

z4=1м: М = – 20кНм,

z4=2м: М = — 80кНм.

∑у=- q·z4 + Q(z4) = 0,

Q(z4) =q·z4 = 40·z4 – уравнение прямой,

z4 = 0: Q = 0,

z4 = 2м: Q = 80кН.

3. Подбор сечений (опасное сечение по σ: |maxМ|=131,25кНм,

опасное сечение по τ: |maxQ|=130кН).

Вариант 1. Деревянное прямоугольное ([σ]=15МПа, [τ]=3МПа)

Принимаем: В=0,24м,

Н=0,48м.

Проверяем по τ:

Вариант 2. Деревянное круглое

Принимаем d=0,45м,

Проверяем по τ:

Вариант 3. Чугун : ([σР]=30МПа, [σс]=120МПа, [τ]=15МПа)

Принимаем b=0,19м, тогда h=0,38м, d=0,076м.

Проверка по τ:

b(у)= b — d= 0,19 — 0,076 = 0,114м

Вариант 4. Сталь, двутавр : ([σ]=160МПа, [τ]=80МПа).

по сортаменту Wх=953см3. Это №40: Ix=19062см4, Sх=545см3, d=0,83см.

Проверка по τ:

Вариант 5. Сталь, круглая труба

Принимаем D=0,22м → d = 0,6·D =0,132м.

Проверка по τ:

Вариант 6. Сталь, прямоугольная труба

b1= b — 2t = b — 2·0,1b = 0,8b,

h2= h — 2t = 0,8h,

Принимаем b=0,13м, h=0,26м.

Проверка по τ:

Кстати: какое из сечений стальной балки выгодней по расходу материала?

Двутавр — А = 72,6см2 = 72,6·10-4 = 0,00726м2,

круглая труба –

прямоугольная труба -

Самый лёгкий: двутавр → самый выгодный с точки зрения изгиба.

prosopromat.ru

Полный расчет балки на прочность и жесткость

Задача

Произвести полный расчет на прочность и проверить жесткость изгибаемой статически определимой двутавровой балки (рис. 1) при следующих данных: F=40кН, q=30 кН/м, a=0,8 м, l=4м, допустимые нормальные и касательные напряжения: [σ]=160 МПа и [τ]=100 МПа, допустимый прогиб балки [f]=l/400

Решение

Определение опорных реакций

Подробно пример определения опорных реакций для балки рассмотрен здесь

Из Σmв=0

Из ΣmА=0

Построение эпюр Q и М

Примеры построения эпюр поперечных сил Q и изгибающих моментов M для балки

В пролете балки 0 ≤ z2 ≤ l

QII= — RB+ qz2= -52+30∙z2 QII(z=0)= -52 кН QII(z=l)= -52+30∙4=68 кН

MII=RB∙z2-qz22/2=52z2-30∙z22/2 MII (z=0)= 0 MII (z=l)= -32 кНм

На консоли l ≤ z1≤ (l+a)

QI= — RB+ ql — RA=-52+30∙4-108=-40 кН

MI=RB z1-ql(z1-l/2)+RA(z1-l)=52z1-30∙4(z1-4/2)+108(z1-4) MI (z=l)= -32 кНм MI (z=l+a)= 0

По этим данным построены эпюры Q и М.

Подбор сечения двутавровой балки

Так как Мmах = 45 кНм, то

Wx≥Mmax / [σ] = 45∙103 / 160∙106= 0,281 м3= 281 см3.

По сортаменту выбираем двутавр № 24, для которого Wx = 289 см3, Ix= 3460 см4, Smax = 163 см3, h = 24 см, bп = 11,5 см, t = 0,95 см, d = bc = 0,56 см, h0 = h-2t = 22,1 см.

Этот двутавр будет работать при максимальном нормальном напряжении в крайнем волокне опасного сечения.

σmax = Mmax / Wx = 45∙103 / 289∙10-6= 156∙106 Па = 156 МПа

Проверка сечения балки по касательным напряжениям

Так как Qmax = 68 кН, то

Построение эпюр нормальных σ и касательных τ напряжений в неблагоприятном сечении балки:

В отношении главных напряжений неблагоприятным является сечение над левой опорой, в котором:

Значение напряжений в различных точках по высоте двутавра сведены в таблицу 1

Результаты расчета в примере

Проверка прочности балки по главным напряжениям

Наиболее опасной точкой в неблагоприятном сечении является точка 3. В этой точке σ1=118 МПа и σ3= -16 МПа. Проверяем прочность в этой точке по третьей гипотезе прочности согласно неравенству σ1 — σ3≤ [σ].

Так как 118 — ( -16) = 134 < 160, то выбранное сечение удовлетворяет условию прочности и по главным напряжениям.