Внецентренное растяжение сжатие

Внецентренное растяжение или сжатие

8.3 Внецентренное сжатие или растяжение.

8.2 Внецентренное растяжение (сжатие)

8.3 Внецентренное растяжение (сжатие)

Рассмотрим важный частный случай изгиба с растяжением или сжатием. Этот вид деформации получится, если к стержню будут приложены две равные и противоположно направленные силы Р, линия действия которых не будет совпадать с центральной осью стержня, а будет ей параллельна.

Эксцентриситет (е) линии действия силы:

В результате переноса получаем три силовых фактора: нормальная сила Р, изгибающий момент вокруг оси Х, Мх=Р.уp и изгибающий момент Му= – Р.хр. Нормальные напряжения будут определяться по формуле:

перепишем эти формулы в другом виде

Если площадь А вынести за скобки

(1)

По этим формулам можно вычислить напряжения в любой точке сечения.

Положение нулевой (нейтральной) линии определим, приравнивая (1) к нулю:

По этому уравнению можно определить отрезки, отсекаемые нулевой линией на осях координат. Обозначим эти отрезки через ах и ау. Положим ах=0, получим:

(2)

Нейтральная линия не проходит через ту четверть, где приложена сила Р, так как здесь знаки компоненты нормального напряжения одинаковы.

Очевидно, что если точка приложения силы будет передвигаться по прямой, параллельной одной из главных осей инерции, то нейтральная линия будет поворачиваться вокруг некоторой точки, лежащей на другой оси.

Если координата ур=const, а ах меняется, то нейтральная линия, меняя своё положение в сечении, все время проходит через точку Д на оси Y. Когда хр=0 (точка 1 на оси у), то нейтральная линия параллельна оси Х.

Если точка приложения силы будет перемещаться по прямой, наклонённой к обеим осям главных моментов инерции сечения, то нейтральная линия опять-таки будет поворачиваться вокруг некоторой точки, но уже не лежащей в этом случае ни на одной из главных осей.

Нейтральная линия проходит через точку Н и поворачивается вокруг неё.

Ядро сечения

Из формул (2) видно, что с уменьшением координат точки приложения силы расстояния ау и ах увеличиваются, то есть точки пересечения нейтральной линии с осями координат удаляются от центра. При некоторых значениях ур и хр нейтральная линия окажется за пределами сечения, тогда во всём сечении напряжения будут иметь один знак.

Хрупкие материалы, как известно, плохо работают на растяжение. Между тем, части сооружений подвергаются действию сжимающей нагрузки, нередко их делают из хрупких материалов. Для того, чтобы и при внецентренном приложении сжимающей нагрузки в материале не возникало растягивающих напряжений, нужно ограничить величину эксцентриситета нагрузки, не выводить точку приложения за пределы некоторой области в сечении.

Область, расположенная вокруг центра сечения, в пределах которой должна находиться точка приложения продольной сжимающей или растягивающей силы, чтобы напряжения в сечении были одного знака, называется ядром сечения:

Границы ядра сечения определяются из (2).

prosopromat.ru

Вторым практически важным случаем сложения деформаций от изгиба и от продольных сил является так называемое внецентренное сжатие или растяжение, вызываемое одними продольными силами. Этот вид нагружения довольно распространен в технике, так как в реальной ситуации почти невозможно приложить растягивающую нагрузку точно в центре тяжести.

Внецентренным растяжением-сжатием называется случай, когда равнодействующая сил, приложенных к отброшенной части стержня, направлена параллельно оси стержня, но не совпадает с этой осью (рис.8.10).

Рис.8.10

Внецентренное растяжение (сжатие) испытывают короткие стержни. Все сечения являются равноопасными, поэтому нет необходимости в построении эпюр внутренних силовых факторов.

Представим, что после проведения разреза равнодействующая F сил действующих на отброшенную часть и приложенная к оставшейся проходит через точку с координатами (xF; yF) в главных центральных осях поперечного сечения (рис. 8.11).

Рис.8.11

Приведем силу F в центр тяжести сечения, т.е. направим вдоль оси стержня. При этом появятся две пары сил Mx и My относительно главных центральных осей (рис.8.11c).

Таким образом, в поперечном сечении стержня при внецентренном растяжении и сжатии возникают три внутренних силовых фактора: нормальная сила N = F и два изгибающих момента Mx = F∙yF и My = F∙xF относительно главных центральных осей поперечного сечения.

Величина нормальных напряжений вычисляется по формуле (8.1), которую можно преобразовать к виду

или, вынося первое слагаемое за скобки,

(8.8)

где

Мы получили формулу нормальных напряжений в поперечном сечении при внецентренном растяжении или сжатии. Если сила растягивающая, то перед скобкой ставится знак плюс, если сила сжимающая, то ставится – минус.

Тогда уравнение нейтральной линии записывается в виде:

или в форме уравнения в отрезках:

(8.9)

где

Из формул (8.9) следуют некоторые закономерности, связывающие положения полюса (т. е. точки приложения силы) и нейтральной линии, которые удобно использовать для анализа решения задачи. Перечислим самые важные из этих закономерностей:

- нейтральная линия всегда расположена в квадранте, противоположном тому, в котором находится полюс ( рис. 8.12);

- если полюс находится на одной из главных осей, то нейтральная линия перпендикулярна этой оси;

- если полюс приближается к центру тяжести сечения, то нейтральная линия удаляется от него.

- если полюс движется по прямой линии, то нейтральная линия поворачивается вокруг неподвижной точки.

Рис.8.12

Для сечений со сложным контуром знание положения нулевой линии очень важно. Наибольшие по величине нормальные напряжения возникают в точках поперечного сечения наиболее удаленных от нулевой линии.

Наибольшее растягивающее нормальное напряжение возникает в точке А (рис.8.12)

(8.10)

а наибольшее сжимающее нормальное напряжение возникает в точке В

(8.11)

Таким образом, при внецентренном растяжении кроме растягивающих нормальных напряжений в поперечном сечении могут возникнуть и сжимающие. При внецентренном сжатии – наоборот.

Если материал стержня одинаково сопротивляется растяжению и сжатию, то условие прочности получает такой вид:

Хрупкий материал обладает различными свойствами в условиях растяжения и сжатия – плохо сопротивляется растяжению и хорошо сжатию, условия прочности составляют для двух точек: где действуют максимальные растягивающие (т. A) и максимальные сжимающие (т. B) напряжения

studfiles.net

ми выше методами определения перемещений. Ранее было показано, что для

случая балки, защемленной одним концом и нагруженной на свободном конце

сосредоточенной	силой F, прогиб конца консоли в	вертикальной и горизон-
тальной плоскости определяется следующим образом
d y =	FCosa ×l	3	,	dx=	FSina ×l3	(8.10)
3EIx		3EIy

Угол наклона вектора полного перемещения по отношению к оси y:

tgg =	dx	=	FSina ×l3	×3EIx	= tga	I x	(8.12)
d y	3EIy × FCosa ×l3	I y

Из (8.12) следует, что при косом изгибе γ ≠ α и следовательно смеще-

ние центра сечения происходит не в плоскости действия изгибающего момента,

а в направлении нормали к нейтральной линии (см.8.8).

При косом изгибе прямого бруса нагрузками, расположенными в одной плоскости, упругая линия бруса будет плоской кривой. Однако плоскость изги-

ба не совпадает с плоскостью действия нагрузки. Если внешние силы и пары,

изгибающие брус, будут располагаться в разных плоскостях, то изогнутая ось бруса будет пространственной

Внецентренное растяжение (сжатие) вызывается силой, параллельной

оси бруса, но не совпадающей с ней (рисунок 8.5).

147

Рисунок 8.5 - Внецентренное растяжение стержня

Точка приложения силы называется центром давления, а расстояние от центра тяжести до точки приложения силы называется эксцентриситетом и обо-

значается «е».

8.2.1. Определение нормальных напряжений при внецентренном

растяжении (сжатии)

Пусть точка приложения внешней силы имеет координаты xF, yF (рису-

нок 8.5). При такой схеме нагружения внутренние силовые факторы в произ-

вольном поперечном сечении бруса равны:

N = F,

M x = F× yF ,

M y= F×xF ,

(8.13)

где yF,zF - координаты точки приложения силы.

Таким образом, если перенести силу P в центр тяжести сечения(рисунок

8.5.б), то внецентренное растяжение(сжатие) может быть сведено к осевому растяжению (сжатию) и чистому косому изгибу.

s (x,y)=

M x

y +

M y

x =

F × xF

x +

F × yF

(8.14)

I y

I x

или

s (x, y)=

y +

(8.15)

ç1

где ix =

iy=

- радиусы инерции сечения.

Ix / A

I x/ A

Выражение в скобках в уравнении(8.15) показывает во сколько раз на-

пряжения при внецентренном растяжении(сжатии) больше напряжений цен-

трального растяжения. Переменными в формуле (8.15) являются два последних слагаемых, отражающих влияние изгиба. Так как при изгибе максимальные на-

пряжения возникают в точках, наиболее удаленных от нейтральной оси, то для определения наиболее опасных точек при внецентренном растяжении или сжа-

тии необходимо определить положение нейтральной оси.

8.2.2Определение положения нейтральной линии при внецентренном растяжении (сжатии)

Обозначим коордиаты точек нейтральной оси xo, yo. Для определения по-

ложения нейтральной оси приравняем нулю выражение (8.15) и после сокраще-

ния на F/A получим уравнение нейтральной линии:

1 +	xF	x	+	yF	y = 0	(8.16)
iy2	ix2
	o		o

Из уравнения (8.17) следует, что нейтральная линия при внецентренном растяжении (сжатии) не проходит через центр тяжести сечения. Нейтральная линия отсекает на осях координат отрезки xн , yн (рисунок 8.6). Чтобы найти от-

резок xн , отсекаемый на осиx, надо в уравнении (8.16) положитьxo=xн, yo=0.

Тогда получим:

y	í	= -	ix2	,	x = -	iy2	(8.17)

		yF		í	xF

Из формулы (8.17) видно, что точка приложения силы и нейтральная ли-

ния всегда расположены по разные стороны от центра тяжести сечения, причем положение нейтральной линии определяется координатами точки приложения силы (рисунок 8.6).

Для определения наиболее опасных точек необходимо провести -касательные к контуру сечения параллельные нейтральной линии. Наиболее уда-

ленные точки касания А иВ, расположенные в растянутой и сжатой зоне, яв-

ляются наиболее опасными (рисунок 8.6). Эпюра напряжений строится на оси,

перпендикулярной к нейтральной линии сечения и ограничена прямой линией.

Условие прочности имеет следующий вид:

F × xF

× x

F ×yF

× y

(8.18)

I y

I x

A£[s ]

где yF,zF - координаты опасной точки, а [σ] - допускаемое напряжение на растяжение и сжатие.

Рисунок 8.6 - Определение положения нейтральной линии

В тех случаях, когда в наиболее удаленной от нейтральной линии точке действует напряжение сжатия, а материал элемента конструкции хрупкий,

опасной может быть точка, в которой действует наибольшее растягивающее напряжение.

8.2.3 Определение положения ядра сечения

При приближении точки приложения силы к центру тяжести сечения (xн иyн по абсолютной величине возрастают) нейтральная линия будет удаляться от центра. При этом в сечении увеличивается доля напряжений одного знака, так как уменьшаются напряжения от изгиба. В пределе приxF = yF=0 нейтральная линия удаляется в бесконечность. В этом случае будет иметь место центральное растяжение (сжатие) бруса.

Всегда можно найти такое положение точки приложения силы, при кото-

ром нейтральная линия будет касаться контура сечения, нигде не пересекая его.

В этом случае в сечении напряжения будут только одного знака. Зона вблизи центра тяжести сечения, приложение продольной нагрузки в которой вызывает появление во всех точках сечения напряжений только одного знака, называется

ядром сечения. До тех, пока точка приложения силы находится внутри ядра,

нейтральная линия не пересекает контур сечения, и напряжения во всем сече-

нии будут одного знака. Если точка приложения силы расположена вне ядра, то нейтральная линия пересекает контур сечения, и тогда в сечении будут дейст-

вовать напряжения разного знака. Указанное обстоятельство необходимо учи-

тывать при расчете элементов конструкций из хрупких материалов, плохо вос-

принимающих растягивающие нагрузки. В этом случае необходимо приклады-

вать внешние силы так, чтобы во всем сечении действовали только напряжения сжатия. Для этого точка приложения равнодействующей внешних сил должна находиться внутри ядра сечения.

Для построения ядра сечения необходимо задаться различными положе-

ниями нейтральной оси и вычислить соответствующие точки приложения силы

F по формулам (8.17).

		iy2			i	2
xF	=		yF	=		x	(8.17)
xí	yí

Вычисленные координаты xF, yF определяют точки, лежащие на границе ядра сечения (рисунок 8.7).

Рис. 8.7 - Определение положения ядра сечения для прямоугольного сечения

Построим ядро сечения для прямоугольного сечения (рисунок 8.8) со сто-

ронами b иh. Совместим вначале нейтральную линию с одной из сторон пря-

моугольника (положение I-I).При этом координаты нейтральной линии равны

xí = - b ; yí = ¥ , а учитывая, что

(8.18)

Из формулы (8.17) получим для точки 1'

Совместим теперь нейтральную линию с другой стороной (положение II-

II). Координаты нейральной линии в этом положении равны x = ¥;	y	í	= -	h	.

í		2

Тогда координаты точки 2' ядра сечения

Аналогично определяем координаты точек 3' и4'.

Так как при переходе нейтральной линии с одной стороны на другую она поворачивается вокруг угловой точки сечения, то точка приложения силы пе-

ремещается по прямой, образуя контур ядра. Таким образом, ядро сечения пря-

моугольника представляет собой ромб с диагоналями, равными одной трети со-

ответствующей стороны.

Построим ядро для круглого сечения (рисунок 8.8).

Рисунок 8.8 - Ядро сечения для круглого сечения

В круге все центральные оси являются главными, поэтому при касании нейтральной линии I-I в любой точке окружности точкаI' ядра сечения будет

лежать на том же диаметре с противоположной стороны относительно центра

тяжести. Положение нейтральной линии определяется координатами: xí = R , yí = ¥ .

Тогда координаты точки 1' ядра

Таким образом, ядро сечения для круглого сечения представляет собой круг с радиусом R/4 илиd/8.

Пример

Стержень нагружен внецентренно приложенной силой Р=400кН (прису-

нок 8.9). Определить напряжения в точках А, В, С иD. Размеры сечения приве-

дены на рисунке. Определить положение нейтральной оси.

Напряжения при внецентренном растяжении-сжатииопределяются по формуле (8.15)

	F	æ		xF		yF		ö
s (x, y)=	ç	+	y +	y	÷	.
	1			÷
	2	2
	A	ç
	è		iy		ix		ø

Рисунок 8.9 – Пример внецентренного приложения нагрузки

1. Определим моменты инерции поперечного сечения

studfiles.net

Перемещения δy иδx

в главных плоскостях определяются рассмотренны-

Рис. 8.2

Таким образом, нейтральная линия не проходит через начало координат в сечении. Как следствие, наибольшие растягивающие и сжимающие напряжения получаются различной величины для любого сечения. Эпюра нормальных напряжений в сечении (эп.σ ) показана на рис. 8.2,б. Максимальные напряжения определяются для точки, наиболее удалённой от нейтральной линии (координатыxm,ym т.М на рис. 8.2,б):

σ	m ax	=	N	+	M x	y	+	M y	x .	(8.10)

		F			m			m
				Jx		Jy

Внецентренным растяжением (сжатием) называется деформа-

ция бруса при действии двух равных и противоположно направленных сил по линии, параллельной оси бруса и не совпадающей с ней

(рис. 8.3,а).

В любом поперечном сечении бруса возникают следующие внутренние силовые факторы (на рис. 8.3,б изображение нормальной силы N соответствует внецентренному растяжению):

N =P;M x =P yp;M y =P xp,

(8.11)

где xp,yp - координаты точки приложения силыP в торцевом сечении.

(Расстояние от точки приложения силы до центра сечения называется

эксцентриситетом.)

Рис. 8.3

Таким образом, внецентренное растяжение (сжатие) можно рассматривать как частный случай совместной деформации косого изгиба и осевого растяжения (сжатия). Подставляя формулы (8.11) в (8.8), получим выражение для нормальных напряжений в произвольной точке сечения:

P yp

P xp

yp y xp x

(x,y)=

x =

, (8.12)

где

= J /F;

i =

J /F

- радиусы инерции сечения относи-

тельно главных осей.

При внецентренном сжатии первое слагаемое в выражении (8.12) подставляется со знаком минус, т.к. N = − P.

Положение нейтральной линии определяется из условия σ (x,y)=0.

Тогда из выражения (8.12) получаем уравнение нейтральной линии:

	yp y	xp x	y	x
1 +		+		= 0 èëè		+	= 1 .	(8.13)
2	2		a
	i		i	a
	x		y	y	x

Нейтральная линия в сечении не проходит через начало координат (центр сечения). Для её построения удобно использовать отрезки,

отсекаемые нейтральной линией на координатных осях: ax=-iy2/xp,

ay=-ix2/yp (рис. 8.3,в). Еслиxp > 0,yp > 0, то отрезкиax < 0,ay < 0, т.е.

нейтральная линия расположена по другую сторону от центра сечения, чем точка приложения силы P (полюср). Эпюра нормальных напряжений в сечении (эп.σ ) показана на рис. 8.3,в. Чем ближе силаP к оси бруса, тем дальше уходит нейтральная линия от центра сечения. При некотором положении силыP нейтральная линия может быть расположена вне сечения (рис. 8.3,г): тогда во всех точках сечения возникают напряжения одного знака.

Как обычно, опасными являются точки, наиболее удалённые от нейтральной линии. Зная их координаты (xm, ym), определяются максимальные напряжения из формулы (8.12):

σ	m ax	=	P	+	P yp	y	+	P xp	x .	(8.14)

		F		Jx	m		Jy	m

Для сечения с выступающими угловыми точками формула (8.14) упрощается:

σ m ax=	P	P yp		P xp	.	(8.15)
	+		+
	W x	W y
	F

Для бруса из материала, по-разномусопротивляющегося растяжению и сжатию, следует определять максимальные растягивающие и сжимающие напряжения (например, в т.А и т.В сечения на рис. 8.3,в):

P yp

P xp

;

W x

W y

(8.16)

P yp

P xp

W y

W x

Отметим практические случаи возникновения внецентренного растяжения (или сжатия) бруса:

1) конструктивные элементы с эксцентрично приложенной нагрузкой;

2)конструктивные элементы с односторонними вырезами при осевой нагрузке;

3)стержни с начальным прогибом.

Во всех случаях необходимо проводить расчёты на прочность, т.к. напряжения при внецентренном растяжении (сжатии) всегда больше, чем при чисто осевой деформации за счёт дополнительной деформации изгиба. Особенно это касается элементов конструкций из хрупких материалов (бетон, кирпич), для которых недопустимы рас-

тягивающие напряжения из-занизкой прочности таких материалов при растяжении.

8.4. Расчёт на прочность при сложном сопротивлении бруса

Расчёт на прочность для рассмотренных случаев сложного сопротивления бруса проводится так же, как и при прямом изгибе балки (см. формулы (6.12) и (6.14) раздела 6.5). Основными являются нормальные напряжения, для которых и записывается условие прочности.

Для бруса из пластичного материала (как правило, σ тр≈σσ тс) усло-

вие прочности имеет вид:	σ ò
σ m ax≤ σ[σ ];	σ[σ ]=	,	(8.17)

		nò

где максимальные напряжения σ max для бруса определяются по фор-

мулам (8.5), (8.6), (8.10), (8.14), (8.15).

Для бруса из хрупкого материала, по-разномусопротивляющегося растяжению и сжатию, записываются два условия прочности:

[ ]

≤

σσ

m ax

p , ãäå[σ ]p =

; [σ ]c =

(8.18)

σ[σ

≤

]

m ax

При этом, используя вышеуказанные формулы для σ max, необходимо отдельно определять максимальные растягивающие и сжимающие напряжения. Условия прочности (8.18) часто используются в расчётах элементов строительных сооружений (колонн, стен и др.) при их внецентренном сжатии.

studfiles.net