Расчет статически определимых стержней на растяжение сжатие

2. Растяжение – сжатие статически определимых ступенчатых стержней

Дано: стержень нагружен системой сил (рис. 2.1).

материал – сталь, [σ] = 160 МПа, E = 2∙105 МПа.

a = 80 см, Fa = 4 см2, P1 = 180 кН;

b = 30 см, Fb = 12 см2, P2 = 140 кН;

c = 60 см, Fc = 10 см2, P3 = 110 кН;

Вычислить:

построить эпюры продольных сил, напряжений и перемещений;
оценить прочность стержня;

Решение:

1. Построение эпюр, продольных сил, напряжений и перемещений

Заданный стержень имеет 4 участка, границами участков являются сечения приложенения внешних сил и места изменения размеров поперечного сечения (рис. 2.2, а).

Для определения продольных сил проводим произвольные сечения на каждом из участков (се-чение a–a на участке 1, b–b на участке 2, c–c на участке 3, d–d на участке 4) и рассматриваем рав-новесие верхней отсеченной части стержня (рис. 2.2, б, в, г, д):

Определяем нормальные напряжения в сечениях каждого участка:

Таким образом, 1ый участок стержня испытывает напряжения превышающие допустимые поэтому подбираем исходя из условия прочности новое сечения:

Берем новое сечение участка стержня равное , тогда нормальное напряжение, воз-никающее в сечении участка будет:

Строим эпюры для продольных сил и нормальных напряжений (рис. 2.2, е, ж).

Определяем удлинения участков стержня, считая длины участков стержня следующими:

Удлинения участков стержня – есть перемещение сечений границ участка относительно друг друга, абсолютное перемещение сечения – есть перемещение сечения относительно заделки. Для нахождения абсолютного перемещения сечения, необходимо просуммировать относительные перемещения сечений до данного, начиная от заделки, т.е.:

Строим эпюру абсолютных перемещений, начиная с закрепленного конца (рис. 2.2, з).

2. Оценка прочности стержня

При начальных данных прочность стержня не была достаточна, чтобы выдержать приложен-ные нагрузки: в сечении участка 1 возникали напряжения, превышающие допустимые, поэтому было необходимо пересчитать площадь поперечного сечения 1ого участка для выполнения условия прочности, что и было сделано в п. 1.

3. Проверка прочности балки и исследование деформаций при изгибе

Дано: балка нагружена системой сил (рис. 3.1).

материал – сталь Ст 3, [σ] = 160 МПа, [τ] = 100 МПа, Е = 2·105 МПа.

q = 20 кН/м, P = 20 кН;

a = 4 м, b = 3 м, c = 2 м;

Требуется:

составить уравнение поперечных сил и изгибающих моментов по участкам, построить эпюры (Q и Mи);
подобрать сечение балки-двутавра из условия прочности по нормальным напряжениям;
вычислить максимальное касательное напряжение;
определить главное напряжение в сечении, имеющем одновременно большие значения Q и Ми для точки сечения на уровне примыкания полки к стенке; проверить прочность по энергетиче-ской теории.
определить прогибы и углы поворота в характерных сечениях балки;
по вычисленным значениям прогибов показать на схеме балки её изогнутую ось;
проверить жесткость балки по допускаемому значению прогиба ;

Решение:

1. Составление уравнений поперечных сил и изгибающих моментов по участкам, построение эпюр

Определяем реакции опор, исходя из того, что суммы моментов внешних сил относительно опор равны нулю (рис. 3.2, а):

Равномерно распределенную нагрузку заменяем равнодействующей, приложенной в центре участка действия нагрузки и равной по величине .

Заданная балка имеет 3 участка нагружения, границами участков являются сечения приложе-ния внешних сил. Определяем поперечные силы и изгибающие моменты по участкам.

На 1ом участке проводим произвольное сечение и рассматриваем отсеченную часть (рис. 3.2, б). На участке действуют две внешние силы: реакция опоры Ra и распределенная на-грузка (следовательно, поперечная сила будет меняться по линейному закону), при этом реакция Ra стремится повернуть отсеч. часть против часовой стрелки и определяемая ей составляющая поперечной силы имеет отрицательный знак, распределенная нагрузка стремится повернуть отсеч. часть по часовой стрелке и определяемая ей составляющая поперечной силы имеет поло-жительный знак; поперечная сила есть сумма этих составляющих:

в сечении A поперечная сила равна:

в сечении C:

Поскольку на участке присутствует распределенная нагрузка, то изгибающий момент будет меняться по квадратичному закону; реакция Ra загибает отсеч. часть выпуклостью вверх и момент, создаваемый ей отрицательный, распределенная нагрузка загибает отсеч. часть выпуклостью вниз и момент, создаваемый ей положителен; тогда изгибающий момент будет:

в сечении A изгибающий момент равен 0 (нет внешнего момента), в сечении C:

В сечении балки, где поперечная сила равна 0, изгибающий момент принимает максимальное значение (сечение E):

На 2ом участке проводим сечение и рассматриваем отсеч. часть (рис. 3.2, в). На участке дей-ствуют две внешние силы: реакция опоры Rb и сила P (следовательно, поперечная сила на участке постоянна), при этом реакция опоры стремится повернуть отсеч. часть против часовой стрелки, а сила P по часовой стрелке, поэтому:

Изгибающий момент меняется линейно (т.к. поперечная сила постоянна), при этом реакция опоры загибает отсеч. часть выпуклостью вниз, сила P выпуклостью вверх, поэтому:

в сечении C изгибающий момент равен:

в сечении B:

На 3ем участке проводим сечение и рассматриваем отсеч. часть (рис. 3.2, г). На участке дей-ствует одна внешняя сила: сила P (следовательно, поперечная сила на участке постоянна):

Изгибающий момент меняется линейно (т.к. поперечная сила постоянна), при этом сила P за-гибает отсеч. часть выпуклостью вверх, поэтому:

в сечении B изгибающий момент равен:

в сечении D изгибающий момент равен 0 (нет внешнего момента).

По приведенным данным строим эпюру поперечных сил (рис. 3.2, д) и изгибающих моментов (рис. 3.2, е).

2. Подбор сечения балки-двутавра из условия прочности по нормальным напряжениям

Максимальное нормальное напряжение, возникающее в сечении балки при изгибе, равно:

по условию прочности максимальное нормальное напряжение не должно превышать допустимого, поэтому:

подставляя в выражение максимальный изгибающий момент, возникающий в сечениях балки (в данном случае в сечение E), получаем:

Для обеспечения требуемой прочности можно:

– по сортаменту двутавровых балок (ГОСТ 8239–72) выбрать двутавр №36, для кото-рого Wz=743 см3 и масса 1ого метра балки 48,6 кг;

– по сортаменту швеллеров (ГОСТ 8240–72) выбрать швеллер №27, для которого Wz=310 см3 и масса 1ого метра балки 27,7 кг, и соединив два швеллера, получить необходимое се-чение;

Поскольку масса 1ого метра двутавра меньше массы 1ого метра двух скрепленных швеллеров на 14%, при этом момент сопротивления двутавра больше суммы моментов сопротивления двух швеллеров на 20%, то рационально будет использовать двутавровую балку для обеспечения проч-ности конструкции.

Выбираем двутавровую балку №36, для которого момент сопротивления Wz = 743 см3, мо-мент инерции Jz = 13380 см4, площадь сечения двутавра F = 61,9 см2, статический момент полусечения Smax = 423 см3;

Тогда максимальное нормальное напряжение, возникающее в сечении балки, будет:

Нормальные напряжения в сечении изменяются линейно: максимальны по краям и равны 0 на нейтральной линии; т.к. изгибающий момент в сечении отрицателен, то верхние слои материала растягиваются и нормальные напряжения положительны, нижние слои сжимаются и нормальные напряжения отрицательны. Строим эпюру нормальных напряжений в сечении E (рис. 3.3, б).

3. Вычисление максимального касательного напряжения

Касательные напряжения, возникающие в сечениях балки при изгибе, определяются по фор-муле Журавского:

где Q – поперечная сила, действующая в сечении, Szотс – статический момент отсеч. части сечения относительно оси z, b – ширина сечения в рассматриваемом слое материала.

Максимальные касательные напряжения возникают в сечении, где поперечная сила макси-мальна (сечение A), поэтому:

Определяем касательные напряжения в характерных точках сечения двутавровой балки (рис. 3.3, а):

– т. 1:

Статический момент отсеч. части Szотс = 0 (точка находится на краю сечения), поэтому по формуле Журавского касательные напряжения

– т. 2:

Статический момент отсеч. части равен:

где Fотс – площадь осеч. части сечения, yC отс – расстояние от оси z до центра тяжести отсеч. части.

В данном случае отсеч. частью является часть сечения двутавра выше т. 2, т.е. полка; тогда площадь сечения полки примерно будет:

где bп – ширина полки, sп – средняя толщина полки (рис. 3.3, а).

Центр тяжести сечения полки находится приблизительно на половине толщины полки от края полки, расстояние от оси z до центра тяжести:

где h – высота сечения двутавра, sп – средняя толщина полки (рис. 3.3, а).

Статический момент полки относительно оси z:

Ширина сечения на уровне т. 2 равна толщине стенки sс; тогда касательные напряжения в т. 2 сечения равны:

– т. 2’:

Статический момент отсеч. части равен статическому моменту полки (т. 2 и т. 2’ находятся на одном уровне относительно оси z). Отличие между т. 2 и т. 2’ состоит в том, что ширина сечения на уровне т. 2 равна толщине стенки, на уровне т. 2’ – ширине полки, поэтому касательные напря-жения в т. 2’ сечения равны:

– т. 3:

Статический момент отсеч. части равен статическому моменту полусечения Smax; ширина се-чения на уровне т. 3 равна толщине стенки sс, тогда касательные напряжения в т. 3 сечения равны:

Касательное напряжение, возникающее в т. 3 сечения A, является максимальным для данного сечения, но т.к. в рассмотренном сечении A возникают максимальные касательные напряжения во всей балке, то касательное напряжение в т. 3 является максимальным для всей балки:

Максимальное касательное напряжение не превышает допустимого.

По приведенным вычислениям строим эпюру касательных напряжений для сечения A (рис. 3.3, в).

4. Определение главного напряжения в сечении, имеющем одновременно большие значения Q и Ми для точки сечения на уровне примыкания полки к стенке; проверка прочности по энергетиче-ской теории

В качестве сечения, имеющего одновременно большие значения Q и Mи, берем сечение C, для которого поперечная сила QC = 17,143 кН, и изгибающий момент MC = -91,428 кН∙м.

Так как нормальные напряжения линейно изменяются по высоте сечения, то наибольшее действующее в сечение C равно:

Нормальное напряжение, действующее на расстоянии y от нейтральной линии, будет:

где h – высота сечения двутавра, ymax – наибольшее расстояние от нейтральной линии до края сече-ния; нормальное напряжение на уровне примыкания полки к стенке (т. 2’ на рис. 3.3, а):

где y2’ – расстояние от нейтральной линии до полки.

Касательное напряжение в точке примыкания полки к стенке (т. 2’ на рис. 3.3, а), по формуле Журавского (с учетом ранее вычисленного статического момента полки):

где Szотс – статический момент полки относительно оси z, bп – ширина полки

Главные напряжения для выделенного элемента в точке примыкания полки к стенке опреде-ляются по формулам для плоского напряженного состояния:

в данном случае и тогда:

IV теория прочности (для пластичных материалов) – энергетическая теория, предполагается, что опасное состояние нагруженного элемента определяется предельной величиной накопленной удельной энергии формоизменения. Эквивалентное напряжение и условие прочности определя-ется как:

Подставляя в это выражение выражения для главных напряжений, вычисленные выше, и при-водя подобные, получаем условие прочности:

в данном случае, подставляя нормальные и касательные напряжения для точки примыкания полки к стенке сечения, получаем:

т.е. условие прочности выполняется.

5. Определение прогибов и углов поворота в характерных сечениях балки

Методом начальных параметров составляем уравнения для прогибов: ось x направляем вправо, y – вверх; начало отсчета берем в сечении A, составляем уравнение моментов относи-тельно сечения D. Все силовые факторы имеют знаки моментов: реакция Ra загибает балку относительно сечения D выпуклостью вверх и создаваемый ей момент отрицателен, реакция Rb – выпуклостью вниз и создаваемый ей момент положителен, распределенная нагрузка – выпук-лостью вниз и создаваемый ей момент положителен, но т.к. распределенная нагрузка не доходит до конца балки, то продолжаем ее до конца и прикладываем компенсирующую, момент создава-емый компенсирующей нагрузкой отрицателен. Составляем уравнение прогибов:

уравнение углов поворота получается дифференцированием уравнения прогибов:

Граничными условиями является то, что прогиб в сеченияхA и B (т.е. под опо-рами) равен 0:

из 1ого граничного условия получаем:

из 2ого граничного условия:

откуда получаем:

Углы поворота в сечениях A и B:

Определяем значения прогибов и углов поворота в сечениях балки:

прогиб в сечении C:

угол поворота в сечении C:

прогиб в сечении D:

угол поворота в сечении D:

Из расчетов видно, что на 1ом участке угол поворота меняется с положителного на отрица-тельный, в отличие от других участков, где угол поворота монотонно убывает; значит на 1ом участ-ке есть такое сечение, где угол поворота равен 0, – это сечение соответствует перегибу балки и ее максимальному на этом участке прогибу, т.е.

где xF – расстояние от края балки до сечения F перегиба балки.

Решая это кубическое уравнение методом Кардано, получаем 3 действительных корня (описа-ние метода и решение уравнения опущено вследствие его громоздкости), при этом в диапазоне [0;4] лежит только один корень

Прогиб в сечении F равен:

6. Показ изогнутой оси балки

По вычисленным в п. 5 значениям прогибов показываем изогнутую ось балки (рис. 3.4, б).

7. Проверка жесткости балки по допускаемому значению прогиба

Проверяем жесткость балки по допускаемому прогибу на каждом из участков балки.

– 1ый участок:

Допускаемый прогиб для 1ого участка равен:

где l1 – длина 1ого участка.

Наибольший прогиб на участке 1 равен прогибу в сечении F, поэтому условие жесткости по допускаемому прогибу будет:

таким образом, условие жесткости по допускаемому прогибу не выполняется.

– 2ой участок:

Допускаемый прогиб для 2ого участка равен:

где l2 – длина 2ого участка.

Наибольший прогиб на участке 2 равен прогибу в сечении C, поэтому:

условие жесткости по допускаемому прогибу также не выполняется.

– 3ий участок:

Допускаемый прогиб для 3его участка равен:

где l3 – длина 3его участка.

Наибольший прогиб на участке 3 равен прогибу на краю участка – в сечении D, поэтому:

таким образом, и на этом участке условие жесткости по допускаемому прогибу не выполняется.

studfiles.net

1.1. Расчет статически определимых стержневых систем Основные определения

Статически определимая стержневая система– это конструкция, состоящая из стержней, для определения внутренних усилий в которых достаточно уравнений статики. В данном разделе рассматриваются конструкции, стержни которых работают только на растяжение-сжатие, т. е. в каждом стержне возникает только одно внутреннее усилие – продольная силаN.

Основной задачей расчета конструкции является обеспечение ее безопасной эксплуатации. Важнейшим условием, обеспечивающим безопасную эксплуатацию конструкции, является условие прочности. Существуют различные методы обеспечения прочности конструкций, подробно о которых можно прочитать в [1,§ 3.12]. Мы чаще всего будем пользоваться одним из этих методов – расчетом по допускаемым напряжениям. Согласно этому методу для конструкций, работающих на растяжение-сжатие, условие прочности можно записать в таком виде:

, (1.5)

где – максимальное напряжение в конструкции, определяемое по формуле (1.1);– характеристика материала, называемаядопускаемым напряжением. Допускаемое напряжение находится по формуле

. (1.6)

В формуле (1.6) – предельное напряжение, при достижении которого в стержне наступаетпредельное состояние материала: появляются пластические деформации, если материал стержня – пластичный, или происходит разрушение, если стержень выполнен из хрупкого материала;n – нормируемый коэффициент запаса прочности.

Кроме формулы (1.5), возможен второй вариант условия прочности

, (1.7)

где

(1.8)

называется действительным коэффициентом запаса прочности, показывающим во сколько раз надо увеличить максимальное напряжение в стержне, чтобы материал стержня оказался в опасном (предельном) состоянии.

Порядок решения большинства задач о проверке прочности статически определимых стержневых систем при расчете по допускаемым напряжениям сводится к следующим этапам:

находим внутренние усилия (продольную силу при растяжении-сжатии) и выявляем опасные сечения;
определяем напряжения;
после выявления максимальных напряжений используем условие прочности (формулы (1.5) или (1.7) при растяжении-сжатии).

Из условия прочности:

либо находим грузоподъемность конструкции, т. е. ищем допускаемую нагрузку– максимальную нагрузку, обеспечивающую безопасную эксплуатацию конструкции;
либо подбираем сечения стержней, т. е. находим такие минимальные размеры поперечного сечения, которые обеспечивают безопасную эксплуатацию конструкции.

Если нагрузка на конструкцию задана и известны размеры поперечных сечений стержней, то просто проверяем прочность (по формулам (1.5) или (1.7) при растяжении-сжатии) и делаем вывод о возможности эксплуатации конструкции.

Примеры решения задач

1.1.1. Подбор сечения стержня, подверженного

растяжению-сжатию (задача № 1)

Условие задачи

Стержень переменного сечения с заданным отношением площадей подвержен действию нагрузок, показанных на рис. 1.3,а. Цель расчета – подобрать площади поперечного сечения стержня так, чтобы на каждом участке соблюдалось условие прочности (1.5) или (1.7). (При этом должно выполняться заданное отношение площадей.)

Решение

Определяем продольную силу и строим эпюру распределения Nвдоль оси стержня. Для этого сначала из уравнения равновесия всего стержня находим опорную реакцию:

Рис. 1.3. К решению задачи № 1:

а – схема нагрузки на стержень;

б, в – эпюры продольной силы и напряжений

Затем, используя метод сечений, определяем продольную силу в произвольном сечении на каждом участке стержня:

на первом участке ) ;

на втором участке ;

на третьем участке .

Ищем значения N на границах участков. На первом участке продольная сила постоянна и не зависит отx. В начале второго участка

в конце второго участка

Аналогично для третьего участка

, .

По полученным точкам строим эпюру N. На рис. 1.3,бэпюраN построена для следующих исходных данных:м,м;F1= 10 кН,F2= 40 кН,q1 = 15 кН/м,q2 = 20 кН/м.

Зная продольную силу, по формуле (1.1) находим напряжения в стержне и строим эпюру распределения напряжений по длине стержня (рис. 1.3, в). Заметим, что на эпюре продольных сил скачки (т. е. резкие изменения усилий при переходе в соседнее сечение) имеют место под сосредоточенными силами на величину этих сил, на эпюре напряжений скачки появляются так же и в местах изменения поперечного сечения.

Для подбора сечения стержня по эпюре напряжений выбираем опасные сечения с максимальными напряжениями. Причем для хрупких материалов важным является не только абсолютное значение напряжения, но и его знак. Более опасным является растягивающее напряжение, так как разрушающее напряжение при растяжении у хрупкого материала много меньше прочности при сжатии. Например, на эпюре, показанной на рис. 1.3,в, опасным является не только сечение в начале третьего участка, где действуют максимальные сжимающие напряжения, но и сечение в конце третьего участкас максимальными растягивающими напряжениями. Таким образом, для стержня, показанного на рис. 1.3, должны выполняться условия прочности в трех опасных сечениях:

для чугунной части

, откуда,

и;

для стальной части

, тогда.

Из трех значений A1, найденных из условий прочности в опасных сечениях выбираем то, которое удовлетворяетвсемусловиям. ЗначениеА2находим по заданному соотношению:.

Для проверки вычислений находим действительные коэффициенты запаса прочности на каждом участке по формуле (1.8) и сравниваем их с нормируемым коэффициентом запаса. На самом опасном участке (в опасном сечении) действительный коэффициент запаса прочности должен равняться нормируемому, а на остальных участках согласно (1.7) должен быть больше нормируемого.

studfiles.net

1.2.2. Расчет статически неопределимой стержневой конструкции, работающей на растяжение-сжатие (задача № 5)

Условие задачи

Стержневая конструкция, состоящая из абсолютно жесткого диска и двух деформируемых стержней длиной l1иl2, соединенных шарнирами, подвержена действию силыF(рис. 1.11). Примем следующие исходные данные: м, м,,,м,м.

Рис. 1.11. Схема конструкции в задаче № 5

Задача состоит из трех частей:

Часть 1.Расчет по упругой стадии деформации. В зависимости от исходных данных, выписанных из таблицы и являющихся индивидуальными для каждого студента, надо либо определить грузоподъемность конструкции, либо подобрать размеры поперечного сечения расчетом по допускаемым напряжениям.

Часть 2. Расчет по предельному пластическому состоянию. Требуется найти грузоподъемность (или подобрать сечения стержней) расчетом по предельному состоянию.

Часть 3.Определение дополнительных напряжений, связанных с изменением температуры наTили неточностью изготовленияодного из стержней. Допустим, что в рассматриваемой задаче стержень 1 охлаждается (T1 < 0), и найдем возникающие в стержнях конструкции температурные напряжения.

Решение

Прежде всего убедимся, что рассматриваемая конструкция является статически неопределимой. Сосчитаем число неизвестных: ими являются продольные силы в двух деформируемых стержнях и две опорные реакции в шарнирно неподвижной опоре в точке А.Таким образом, имеем 4 неизвестные, а число независимых уравнений статики для данной системы равно 3. Система является один раз статически неопределимой.

Часть 1.Для расчета конструкции по упругой стадии деформации необходимо составить три группы уравнений:

уравнения равновесия;
уравнения совместности деформаций;
физические уравнения (закон Гука).

Чтобы составить уравнения равновесия, нарисуем план сил. Для этого рассечем стержни и, отбросив части стержней, заменим их внутренними усилиями – продольными силами N1иN2(рис. 1.12,а). Важно, чтобы на плане сил направления усилий соответствовали плану перемещений. Для того, чтобы выяснить как направлены продольные силы в стержнях, нарисуем приближенный план перемещений (рис. 1.12,б), пользуясь принципами, описанными при решении задачи № 3. ТочкиВиСжесткого диска поворачиваются с радиусамиABиАСвокруг неподвижной точкиАна один и тот же уголи перемещаются по дугам, которые заменяем перпендикулярамииДля того, чтобы найти абсолютные деформации стержней, надо из точеки(новые положения узловВиС) опустить перпендикуляры на направления стержней. Как видно из рис. 1.12,бстержень 1 укорачивается на(выделенный жирным отрезок), и поэтому на плане сил усилиеN1показано сжимающим. Стержень 2 согласно плану перемещений удлиняется на, и на рис. 1.12,апродольная силаN2нарисована растягивающей.

Рис. 1.12. К решению задачи № 5:

а – план сил от действия F;

б – план перемещений от действия F

Теперь составим три уравнения равновесия:

;;

Запишем вторую группу уравнений – уравнения совместности деформаций. Поскольку данная система является один раз статически неопределимой, необходимо составить одно уравнение совместности деформаций. Это геометрическое уравнение, связывающее абсолютные деформации стержней, и его мы получим на основании плана перемещений. Из подобия треугольников ABBиACCна рис. 1.12,б. Связывая отрезкиBB иCCс деформациями стержнейии учитывая, чтоAB =a, а, получим уравнение совместности деформаций

Поскольку , то окончательно

Это уравнение показывает, во сколько раз абсолютное удлинение второго стержня больше абсолютного укорочения первого стержня. При построении плана перемещений в масштабе (что рекомендуется) результаты вычислений можно проверить по рисунку, измерив отрезки ии найдя их отношение.

Теперь надо связать деформации стержней с внутренними усилиями. Предполагая, что материал подчиняется закону Гука (расчет по упругой стадии деформаций), запишем третью группу уравнений

и.

Мы получили полную систему уравнений для определения всех неизвестных (). Как правило, нас интересуют только продольные силы в стержнях, поэтому из уравнений равновесия при решении системы используется только последнее уравнение, в которое не входят опорные реакции. Решая полученную систему уравнений, найдем внутренние усилия в стержнях:

;

Здесь введено обозначение – погонная жесткостьi-го стержня.

Заметим, что, как видно из полученных формул, усилия зависят не только от величины нагрузки и геометрических размеров конструкции, как в статически определимых системах, но и от отношения погонных жесткостей стержней. Эта важная закономерность справедлива для любой статически неопределимой конструкции и позволяет влиять на распределение усилий в стержнях без изменения ее геометрической схемы. Для принятых в данной задаче исходных данных получим и.

Определив внутренние усилия в стержнях, находим напряжения и выбираем наиболее напряженный стержень. Из условия прочности этого (наиболее напряженного) стержня либо определяем допускаемую нагрузку, либо подбираем размеры поперечных сечений стержней (заданное отношение площадей сечения необходимо сохранить). Напряжения в стержнях ,. Из сравнения видно, что наиболее напряженным является стержень 2. Из условия прочности этого стержня

находим либо значение F, либоА1(А2по заданному отношению равноА1/2).

Для проверки рекомендуем после определения допускаемой нагрузки (либо размеров площадей сечения) еще раз найти напряжения в стержнях и убедиться в том, что условие прочности выполняется в обоих стержнях.

Часть 2.Сделаем расчет конструкции по предельному пластическому состоянию. Поскольку заданная система является один раз статически неопределимой, то в предельном состоянии должны потечь два стержня, то есть все деформируемые стержни конструкции. Для определения предельной нагрузки нарисуем план сил в предельном состоянии (рис. 1.13). Направления усилий снова должны соответствовать плану перемещений. Составим одно уравнение равновесия в предельном состоянии (такое уравнение, в которое не входят неизвестные опорные реакции):

Из этого уравнения можно найти значение предельной нагрузки. Для конкретных исходных данных, использованных в первой части задачи, получим:

Рис. 1.13. План сил в предельном состоянии

Из условия прочности конструкции по предельному состояниюлибо находим значение допускаемой нагрузки, либо подбираем размерА1.

Сравним величины допускаемых нагрузок, найденных разными методами для рассмотренного примера. Допускаемая нагрузка, определенная расчетом по упругой стадии деформации

оказалась меньше допускаемой нагрузки, полученной расчетом по предельному пластическому состоянию , на 56%.

Часть 3.Найдем дополнительные напряжения в стержнях конструкции, связанные с охлаждением стержня 1 наградусов. Предполагая, что в процессе деформации материал стержней остается упругим, расчет ведем по той же схеме, что и в первой части задачи, т. е. составляем три группы уравнений:

уравнения равновесия;
уравнения совместности деформаций;
физические уравнения.

Уравнения равновесия составляем по плану сил (рис. 1.14, а), уравнения совместности деформаций – по плану перемещений (рис. 1.14,б). План сил и план перемещений, как и раньше, должны соответствовать друг другу. Поясним особенности построения плана перемещений от температурного воздействия. Если бы конструкция была статически определимой, т. е. стержень 2 отсутствовал, то стержень 1 при охлаждении уменьшил бы свою длину на величину, жесткий диск повернулся бы на уголи узелВпереместился в положениеВ. Поскольку конструкция статически неопределима, то лишний стержень 2 препятствует такой деформации. В результате жесткий диск повернется только на угол, точкаВперейдет в положениеВ. Стержень 1 окажется растянутым на величину(выделенный жирным отрезок на плане перемещений рис. 1.14,б) и в нем возникнет растягивающее усилиеN1. В свою очередь стержень 2 в процессе деформации также будет растянут на величину продольной силойN2. В соответствии с планом перемещений на плане сил (см. рис. 1.14,а) оба стержня показаны растянутыми.

Рис. 1.14. К решению задачи № 5:

а – план сил от температурного воздействия;

б – план перемещений от температурного воздействия

Теперь запишем систему уравнений для определения внутренних усилий в заданной конструкции:

уравнение равновесия

;;

уравнение совместности деформации 3

и физические уравнения

;;.

Решая эту систему уравнений, найдем усилия в стержнях системы, а далее по формуле (1.1) температурные напряжения. Заметим, что отрицательный знак используется только при построении плана перемещений (стержень укорачивается от действия температуры), при решении системы уравнений величинуследует принять положительной.

Примечание.Определение монтажных напряжений, связанных с неточностью изготовления одного из стержней, производится так же, как температурных напряжений. Например, если в рассмотренном примере стержень 1 будет изготовлен короче, чем требуется, на величину(эта величина в таблице исходных данных [4] задана отрицательной), то при сборке конструкции стержень 1 надо будет растянуть и при этом стержень 2 тоже растянется. На плане перемещений отрезокзаменим наи решение задачи будет справедливо, если в полученной системе уравнений всюду заменитьна заданную величину.(Отрицательный знакпри решении системы уравнений не учитывается.)

studfiles.net

1.2.2. Расчет статически неопределимой стержневой конструкции, работающей на растяжение-сжатие (задача № 5)

Условие задачи

Стержневая конструкция, состоящая из абсолютно жесткого диска и двух деформируемых стержней длиной l1иl2, соединенных шарнирами, подвержена действию силыF(рис. 1.11).

Расчет этой конструкции состоит из трех частей:

Рис. 1.11. Схема конструкции в задаче № 5

Решение

Часть 1.Для расчета конструкции по упругой стадии деформации необходимо составить три группы уравнений:

уравнения равновесия;
уравнения совместности деформаций;
физические уравнения (закон Гука).

Рис. 1.12. К решению задачи № 5:

а – план сил от действия F;

б – план перемещений от действия F

Теперь составим три уравнения равновесия:

;;

Запишем вторую группу уравнений – уравнения совместности деформаций. Поскольку данная система является один раз статически неопределимой, необходимо составить одно уравнение совместности деформаций. Это геометрическое уравнение, связывающее абсолютные деформации стержней, и его мы получим на основании плана перемещений. Из подобия треугольников ABBиACCна рис. 1.12,б. Связывая отрезкиBB иCCс деформациями стержнейии учитывая, чтоAB =a, а, получим окончательно уравнение совместности деформаций

и.

;

Здесь введено обозначение – погонная жесткостьi-го стержня.

Определив внутренние усилия в стержнях, находим напряжения и выбираем наиболее напряженный стержень. Из условия прочности этого (наиболее напряженного) стержня либо определяем допускаемую нагрузку, либо подбираем размеры поперечных сечений стержней (заданное отношение площадей сечения необходимо сохранить). Например, если в заданной схеме задаться следующими данными:

м, м,,,м,м, тои, а. Напряжения в стержнях,. Из сравнения видно, что наиболее напряженным является стержень 2. Из условия прочности этого стержня

находим либо значение F, либоА1(А2по заданному отношению равноА1/2).